Все о морских узлах - Александр Васильевич Козлов

перекрёстка: дуги разрезаются и переклеиваются «наоборот»

Переброска и разрешение были известны и часто использовались топологами и до Конвея. В частности, американец Александер использовал их для вычисления полиномов, носящих его имя. Вклад Конвея состоял в том, что он показал, что эти две операции можно использовать в качестве базы для определения инварианта узлов совершенно элементарным образом (полином Конвея).

Рассмотрим более детально, как действуют эти необычные ферменты – топоизомеразы – на длинные молекулы, в частности, на молекулы ДНК. Нужно сразу же подчеркнуть, что наблюдать визуально это действие, происходящее на молекулярном уровне, невозможно: даже самые мощные электронные микроскопы позволяют получить лишь косвенные сведения.

Напомним, что молекула ДНК представляет собой длинную двойную спираль, каждая нить которой состоит из оснований А, Т, Г, Ц, порядок которых кодирует генетические свойства индивидуума (похоже на то, как порядок цифр: О, 1,2…..9 в строке текста даёт десятичный код числа). На рисунке схематично представлена часть молекулы ДНК.

Структура молекулы ДНК из двух нитей

Концы двух нитей ДНК обычно свободны. Существуют и молекулы из двух замкнутых нитей (две сплетённые змеи, кусающие свои хвосты), а также молекулы, состоящие из единственной нити, как замкнутой, так и со свободными концами. Эти молекулы участвуют в трёх классических генетических процедурах: репликации, транскрипции и рекомбинации; кроме того, молекулы из двух нитей способны свёртываться (превращаться из вытянутых в компактно упакованные объекты). Топоизомеразы играют решающую роль во всех этих процессах, осуществляя операции разрезания, перекомпоновки и склейки. Во-первых, они могут разрезать нить, переместить другую нить через полученное отверстие и затем заклеить разрез (переброска Конвея). Кроме того, осуществив два разреза и два склеивания, они соединяют две нити «наоборот» (разрешение Конвея).

Точный механизм операций разрезания, передвижения и склейки сегодня ещё недостаточно изучен. Тем не менее, известно, что существуют различные типы топоизомераз (они разные для ДНК из одной и двух нитей). В работе Джеймса Ванга (James Wang) описано, как происходит свёртывание (и обратная процедура) замкнутой молекулы ДНК.

Свёртывание ДНК похоже на то, что часто происходит с телефонным шнуром в форме длинной спирали. Когда вы после разговора опускаете трубку на аппарат, подводящий шнур немного подкручивается, постепенно запутываясь все больше и больше, и становится бесформенным компактным клубком. Это, конечно, досадно, поскольку сокращается расстояние, на которое можно отойти от аппарата. Свёртывание ДНК также преобразует длинную спираль в компактный клубок, но в данном случае это полезный результат: преобразование длинной молекулы (длина которой несколько сантиметров) в маленький клубок позволяет ей легко войти в ядро клетки, размеры которого измеряются в ангстремах (один ангстрем есть одна десятимиллиардная доля метра).

В своем нормальном, не свёрнутом состоянии спираль ДНК делает полный оборот на части нити, содержащей 10,5 последовательных оснований. Делая твист много раз (см. рис. «Схемы операций» – пункт в), соответствующие топоизомеразы преобразуют простую замкнутую кривую ДНК так, как это показано на рисунке.

Свёртывание в клубок молекулы ДНК из двух нитей

Отметим, что с топологической точки зрения одним из результатов твиста является изменение индекса сцеплений двух ветвей ДНК (этот инвариант, восходящий к Гауссу, измеряет, сколько раз одна ветвь оборачивается вокруг другой). Существуют и другие топологические явления, которые играют существенную роль в биологии; однако детальное описание полученных здесь результатов не входит в наши намерения. Более полную информацию читатель может найти в статье Ванга (Wang, 1994).

В математической теории узлов важное место занимает самый знаменитый инвариант узлов – полином Воана Джонса (Vaughan Jones), который двадцать лет назад привел к тому бурному развитию теории, о котором говорилось выше. Кроме всего прочего, он позволил многим исследователям установить первые серьёзные связи теории узлов с физикой. Удивительно, что физическая интерпретация (в статистической физике) полинома Джонса дает вполне элементарное описание инварианта Джонса, первоначальное чисто математическое определение которого было достаточно сложно. Это описание использует очень простой инструмент, который, тем не менее, играет важнейшую роль в современной теоретической физике – скобку Кауффмана.

Одно из последних великих изобретений теории узлов – инварианты Васильева. Как и в других случаях, исходное определение было весьма сложным. Оно использовало технику теории катастроф и аппарат спектральных последовательностей. Теперь имеется и элементарное описание этих инвариантов. Вместо сложных математических формул читатель может встретить простенькие вычисления с маленькими диаграммами, а также отступление про «социологический» подход к математике.

Таким образом, теория узлов, дебют которой состоялся почти сто пятьдесят лет назад, развивалась затем благодаря настойчивым усилиям математиков, которыми управляло стремление к научным истинам и чисто интеллектуальное любопытство. Чтобы продвигаться, нужны были новые конкретные идеи. И они возникали в воображении лучших исследователей, порождая каждый раз новые надежды и планы на все новые и новые исследования. А каждая неудача позволяла лучше сконцентрироваться на нерешённых проблемах, заманчиво высвечивая всё ещё недостигнутую цель.

Сегодня мы находимся в положении, близком к сложившемуся в 1860 году. Многие исследователи полагают, как полагал в свое время Уильям Томсон, что узлы играют ключевую роль в фундаментальной физической теории, описывающей структуру материи. Однако это не возвращение к начальной точке. Здесь спираль познания совершила полный виток, и мы обнаруживаем себя в том же положении, но на более высоком уровне.

Теория узлов остается живой и загадочной. Главные проблемы по-прежнему открыты: узлы продолжают ускользать от попыток их ясно классифицировать, и по-прежнему неизвестно, обладают ли они легко вычислимой полной системой инвариантов. И наконец, та фундаментальная роль, которую, как полагают, они играют в физике, ещё до конца не определилась.

А в завершении этой главы хотел бы ещё раз акцентировать внимание читателей на полезности ДНК-генеалогии. Кто всерьёз заинтересовался этой темой, может самостоятельно начать её изучение на основе трудов одного из её создателей и активных распространителей Анатолия Алексеевича Клёсо-ва, либо прочитать мою книгу «Древнейшая история Пензенского карая: мифы и реальность», вышедшую в 2020 году, где кратко изложены «20 основных постулатов ДНК-генеалогии». А в разделах «История края на примере выводов ДНК-теста» и «Ещё немного о ДНК-генеалогии» достаточно подробно рассказано об этой феноменальной науке.

Магические свойства узлов

Узел является одним из основных символов магии. Символично, что имя самого могущественного правителя за всю историю викингов Кнуда Великого (ок. 995-1035 гг.) переводится как узел… А на руническом камне X века в Еллинге есть, в том числе, надпись о том, что король Харальд сделал данов христианами. Надпись гласит: «…Харальд, покоривший всю Данию и Норвегию, кто крестил датчан». Большой камень в Еллинге является своего рода