Методы и средства обеспечения безопасности полета - Владимир Живетин

С учетом принятых допущений и полученных уравнений (1.9), (1.13) система примет вид

Эта система является замкнутой относительно δe(t) и δn(t). Одним из управлений служит параметр γ, определяющий долю затрат всех средств, кроме тех, что идут на организацию пассажироперевозок (грузоперевозок). Кроме того, П*(t) включен в управление системой, ее технико-экономическим потенциалом.

Система содержит два параметра τD и τk, характеризующие динамические свойства системы, и их следует идентифицировать. После этого система (1.14) будет описывать финансовые потоки изучаемой системы.

1.4. Анализ поведения системы

Сначала проанализируем статически равновесное состояние системы, когда δn и δe – постоянные величины. При этом = = 0. Тогда из (1.3) следует, что δe = δn, т. е. расход всегда равняется поступлениям, и это будет иметь место, если

(1 – γ)(1+П*) = 1,          (1.15)

или доля расходов γ удовлетворяет условию

Обобщенным параметром, определяющим допустимые расходы, выступает произведение τП. На рис. 1.17 представлен график зависимости (1.16).

Теперь, исключив величину δn из системы (1.14), получим одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно δe(t):

Рис. 1.17

После определения величины δe из уравнения (1.17) неизвестная величина δn может быть определена из первого уравнения (1.14). Если решение (1.17) получено численно, то для вычисления δn необходимо использовать третье уравнение из (1.14), поскольку численное дифференцирование δe приводит к появлению существенных погрешностей.

Если коэффициенты уравнения (1.17) постоянны, то несложно получить его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение

τDτkλ2 + (τD + τk) λ + [1 – (1 – γ)(1 + П*)] = 0,           (1.18)

решения которого

Если равенство (1.15) не выполняется, то в зависимости от величины и знака дискриминанта Δ корни λ1,2 будут вещественными или комплексными. Введем следующие обозначения:

a = τD + τk; b = 4τDτk [1 – (1 – γ)(1 + П*)].

Тогда А = a2 – b.

Величина a, как правило, положительна. Она будет отрицательна, если одна из величин – τD или τk – отрицательна, и при этом τD + τk < 0. Это означает, что рассматривается процесс не с запаздывающим, а с опережающим аргументом. Например, выданные в кредит деньги возвращаются не после, а до выдачи кредита. Эти и аналогичные им случаи здесь не рассматриваются. Примем, что a > 0 всегда.

Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения величин a2 и b дискриминант Δ может иметь разный знак.

Рассмотрим следующие случаи.

При a2 > b дискриминант Δ > 0, и оба корня уравнения (1.18) вещественны. В этом случае общее решение уравнения (1.17) имеет вид

δe = exp(–at)[((c1 + c2)/2)exp(ct) + ((c1 c2)/2)exp(–ct)],          (1.20)

где c = = . Постоянные c1 и c2 зависят от начальных данных δe0 и и параметров системы следующим образом:

Случай b = 0 соответствует равновесному состоянию рассматриваемой системы, при этом выполняется условие (1.15), Δ = a2 и λ12 = –a ± a, то есть λ1 = 0, λ2 = –2a. Тогда общее решение (1.20) запишется в виде

δe = (c1 + c2) / 2+((c1 – c2) / 2)exp(–2at).

Равновесное состояние δe = (c1 + c2) / 2 реализуется при любом значении t, если имеет место равенство c1=c2. Если же c1 ≠ c2, то в силу того, что a > 0, данное состояние реализуется для больших значений t, при этом

δe ≈ (c1+c2) / 2,          (1.21)

а при t, стремящемся к бесконечности, условие δe=(c1+c2) / 2 соблюдается независимо от значений c1 и c2. Таким образом, состояние δe=(c1+c2) / 2 обладает устойчивостью финансового потока по отношению к начальным возмущениям (рис. 1.18).

Рис. 1.18

При этом независимо от того, какое из неравенств – δe(0) > (c1+c2) / 2 или δe(0) < (c1+c2) / 2 – имело место, с увеличением t соотношение (1.21) становится более точным.

Поведение системы меняется при b ≠ 0. Если при этом условии a > 0 и c > 0, то для больших t, согласно (1.20), имеет место приближенная зависимость δe(t) ≈ ((c1+c2) / 2)exp[–(a – )t]. Здесь возможны следующие две ситуации: (a – ) > 0 и (a – ) < 0. Условие (a – ) > 0 выполняется при b > 0, тогда δe уменьшается с увеличением t, что говорит о снижении кредитоспособности микроавиационной системы. В противном случае, когда b < 0, кредитоспособность микроавиационной системы с течением времени возрастает (рис. 1.19). Отсюда следует, что условие b=0 при Δ > 0 характеризует критическое состояние, разделяющее области увеличения и падения кредитоспособности микроавиационной системы.

Рис. 1.19

При Δ < 0 корни характеристического уравнения (1.18) являются комплексными, и общее решение уравнения (1.17) записывается в виде

Постоянные h и Θ определяются из начальных условий по формулам

Из (1.22) следует, что в начальный момент времени микроавиационная система является кредитоспособной при выполнении неравенства δe(0)=hsinΘ > 0. Однако выполнение этого условия не означает сохранение кредитоспособности микроэкономической системы при любом t > 0. Как следует из (1.22), процесс изменения δe является колебательным с уменьшением амплитуды во времени (рис. 1.20). Поэтому при t, стремящемся к бесконечности, δe(t) стремится к 0, что говорит о падении кредитоспособности микроавиационной системы. Кроме того, в силу колебательного характера процесса для некоторых моментов времени tn, n=1,2,…, выполняется условие δe(tn)=0.

Таким образом, микроавиационная система обладает кредитоспособностью при любом значении t, если b < 0, поскольку при этом параметры банка γ и П* таковы, что (1 – γ)(1+П*) > 1 и Δ ≥ 0. В противном случае кредитоспособность микроавиационной системы со временем падает.

Рис. 1.20

Пример. Пусть при t=0 дано следующее начальное состояние: δe0=104 руб., =0. Согласно модели, микроавиационная система характеризуется параметрами τD, τk, П*, γ. Примем, что поступившие в данный момент времени денежные средства на различные цели полностью израсходуются через 6 суток. Тогда τD=2 сут. Кредит выдается на 30 суток, тогда τk=10 сут.

Пусть П=40 %, тогда П*=1/30. Параметр γ рассмотрим как управление. Он определяет долю изымаемых из оборота денег. Выбирая разные значения γ, получим разное поведение финансовых потоков микроавиационной системы. Сначала найдем значение γ, соответствующее равновесному функционированию банка, при котором δe=δe0=const. Согласно формуле (1.15), найдем γ=П*/(1+П*)=1/31. Таким образом, примерно 3,226 % денег используется в разных целях, а 96,774 % выдается в кредит. При этом микроавиационная система не расширяется, не разоряется, а находится в равновесном состоянии.